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  <title>B树 | LYJ's NOTES</title>
  








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          <h2 class="post-title" itemprop="name headline">B树</h2>
        

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                <span class="post-meta-item-text">发表于</span>
              
              <time title="创建于" itemprop="dateCreated datePublished" datetime="2018-03-17T21:48:36+08:00">
                2018-03-17
              </time>
            

            

            
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        <h1 id="B树、B-树、B-树、B-树相关"><a href="#B树、B-树、B-树、B-树相关" class="headerlink" title="B树、B-树、B+树、B*树相关"></a><a href="http://www.cnblogs.com/hellowooorld/p/7344866.html" target="_blank" rel="noopener">B树、B-树、B+树、B*树相关</a></h1><p><strong>B树</strong></p>
<p>​       即二叉搜索树：</p>
<p>​       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；</p>
<p>​       2.所有结点存储一个关键字；</p>
<p>​       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；</p>
<p>​       如：</p>
<p>​       </p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/1.JPG" alt="img"></p>
<p>​       B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；</p>
<p>否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入</p>
<p>右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；</p>
<p>​       如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树</p>
<p>的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构</p>
<p>（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；</p>
<p>​       如：</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/2.JPG" alt="img"></p>
<p>   但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/31.JPG" alt="img"></p>
<p>   右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的</p>
<p>树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就</p>
<p>是所谓的“平衡”问题；      </p>
<p>​       实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树</p>
<p>结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的</p>
<p>策略；</p>
<p><strong>B-树</strong></p>
<p>​       是一种多路搜索树（并不是二叉的）：</p>
<p>​       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M&gt;2；</p>
<p>​       2.根结点的儿子数为[2, M]；</p>
<p>​       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；</p>
<p>​       4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）</p>
<p>​       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；</p>
<p>​       6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] &lt; K[i+1]；</p>
<p>​       7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的</p>
<p>子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；</p>
<p>​       8.所有叶子结点位于同一层；</p>
<p>​       如：（M=3）</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/4.JPG" alt="img"></p>
<p>​       B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果</p>
<p>命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为</p>
<p>空，或已经是叶子结点；</p>
<p>B-树的特性：</p>
<p>​       1.关键字集合分布在整颗树中；</p>
<p>​       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；</p>
<p>​       3.搜索有可能在非叶子结点结束；</p>
<p>​       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；</p>
<p>​       5.自动层次控制；</p>
<p>​       由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少</p>
<p>利用率，其最底搜索性能为：</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/0.JPG" alt="img"></p>
<p>​    </p>
<p>​       其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；</p>
<p>​       所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；</p>
<p>​       由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占</p>
<p>M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；</p>
<p><strong>B+树</strong></p>
<p>​       B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：</p>
<p>​       1.其定义基本与B-树同，除了：</p>
<p>​       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；</p>
<p>​       3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树</p>
<p>（B-树是开区间）；</p>
<p>​       5.为所有叶子结点增加一个链指针；</p>
<p>​       6.所有关键字都在叶子结点出现；</p>
<p>​       如：（M=3）</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/5.JPG" alt="img"></p>
<p>   B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在</p>
<p>非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；</p>
<p>​       B+的特性：</p>
<p>​       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好</p>
<p>是有序的；</p>
<p>​       2.不可能在非叶子结点命中；</p>
<p>​       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储</p>
<p>（关键字）数据的数据层；</p>
<p>​       4.更适合文件索引系统；</p>
<p><strong>B*树</strong></p>
<p>​       是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；</p>
<p><img src="http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/6.JPG" alt="img"></p>
<p>   B<em>树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)</em>M，即块的最低使用率为2/3</p>
<p>（代替B+树的1/2）；</p>
<p>​       B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据</p>
<p>复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父</p>
<p>结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；</p>
<p>​       B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分</p>
<p>数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字</p>
<p>（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之</p>
<p>间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；</p>
<p>​       所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；</p>
<p><strong>小结</strong></p>
<p>​       B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于</p>
<p>走右结点；</p>
<p>​       B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键</p>
<p>字范围的子结点；</p>
<p>​       所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；</p>
<p>​       B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点</p>
<p>中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；</p>
<p>​       B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率</p>
<p>从1/2提高到2/3；</p>

      
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